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并查集+欧拉路

以下摘自http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6917777

定义：
欧拉回路：每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径
欧拉路径：经过每一条边一次，但是不要求回到起始点

①首先看欧拉回路存在性的判定：

一、无向图
每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。

二、有向图（所有边都是单向的）
每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。

 三.混合图欧拉回路
　　混合图欧拉回路用的是网络流。
　　把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
　　好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
　　现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
　　由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
　　所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

②.欧拉路径存在性的判定

一。无向图
一个无向图存在欧拉路径，当且仅当   该图所有顶点的度数为偶数   或者  除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。

二。有向图
一个有向图存在欧拉路径，当且仅当 该图所有顶点的度数为零     或者 一个顶点的度数为1，另一个度数为-1，其他顶点的度数为0。

三。混合图欧拉路径
其实整篇文章只有这部分是我写的哈，灰常不好意思，只是网上的同志们写的太好了，实在没有必要重复劳动，不知道大家有没有发现，求欧拉路径的第一步一定是求欧拉回路，在混合图上也不例外，如何判断混合图欧拉回路问题的存在性呢？首先，我们用上文所说的方法判断该图是否存在欧拉回路，如果存在，欧拉路径一定存在。如果欧拉回路不存在，那么我们枚举欧拉路径的起点和终点，连接一条无向边，然后再用最大流判断是否存在欧拉回路即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int degree[26], root[26];

int find(int x)
{
    int t=x;
    while(root[t]!=t)
        t = root[t];
    root[x] = t;
    return t;
}

void join(int x, int y)
{
    int tx = find(x); 
    int ty = find(y);
    if(tx!=ty) root[tx] = ty; // 这里注意了，不要写成root[x] = ty 。。
}

int main()
{
    int t, n, c, s, e, r;
    char word[100005];
    bool possible;
    bool vis[26];
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n;
        memset(degree, 0, sizeof(degree));
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        for(int i=0; i<26; i++)
            root[i] = i;
        while(n--)
        {
            cin >> word;
            s = word[0]-'a';
            e = word[strlen(word)-1]-'a';
            degree[e]++;
            degree[s]--;
            join(s, e);
            vis[s] = true;
            vis[e] = true;
        }
        int n1=0,  p1=0;
        r = 0;
        possible = true;
        for(int i=0; i<26; i++)
        {
            if(vis[i])
            {
                if(root[i] == i) 
                {
                    r++;
                }
                if(degree[i] != 0)
                {
                    if(degree[i] == -1) n1++;
                    else if(degree[i] == 1) p1++;
                    else
                    {
                        possible = false;
                        break;
                    }
                }
            }
            if(r>1)
            {
                possible = false;
                break;
            }
        }
        if(possible && n1<2 && p1<2) cout << "Ordering is possible.\n";
        else cout << "The door cannot be opened.\n";
    }
    return 0;
}